Man berechne den Funktionswert F(3.5) für eine Normalverteilung N(3;1^2).

Lösung 3.8 :

Man schlägt in einer Tabelle den Wert Phi((3.5-3)/1)=Phi(0.5) nach und erhält F(3.5)=0.6915.

Für jede Normalverteilung N(mü;sigma^2) kann man ein paar wichtige Zahlen in Zusammenhang mit der Streuung angeben. Im folgenden die drei wichtigsten Wahrscheinlichkeiten, daß ein Wert im jeweiligen Intervall liegt :

Das bedeutet also, daß in einem Intervall von 3 sigma rund um den Erwartungswert mü bereits 99,74% aller Werte liegen.

Die besondere Bedeutung der Normalverteilung liegt darin, daß sich viele praktisch vorkommende Zufallsgrößen, speziell technische und physikalische Meßgrößen, als normalverteilt erweisen. Eine Erklärung dafür, warum sich viele praktische Größen annähernd normalverteilt verhalten, liefert der Zentrale Grenzwertsatz, der besagt :

Unter einer Voraussetzung  die praktisch stets erfüllt ist, gilt, daß eine Summe x1+x2+...+x n von beliebigen zufälligen Variablen (die beliebige und unterschiedliche Verteilungsfunktionen haben dürfen) bereits dann näherungsweise einer Normalverteilung folgen, falls x1,....,.x n statistisch unabhängig sind und ihre Anzahl n hinreichend groß ist,[BASL89] .

Die Gaußsche Glockenkurve, wie die normierte Normalverteilung teilweise auch genannt wird, entspricht einer Normalverteilung mit den Parametern