[BASL84] Mit einer Abfüllmaschine werden x1 Gramm eines Produktes in x2 Gramm schwere Dosen gefüllt. 100 gefüllte Dosen werden in eine x3 Gramm schwere Kiste verpackt. Es seien x1, x2 und x3 unabhängig und ausreichend genau nach den Normalverteilungen N(155;42), N(45;32) und N(1000;202) verteilte zufällige Variable.

-) Bestimme den Erwartungswert und die Streuung des Gewichtes einer aus der Produktion zufällig herausgegriffenen, gefüllten Dose.

-) Berechne P(x1+x2 < 215)

-) Berechne den Erwartungswert und die Streuung des Gewichtes einer zufällig aus der Produktion herausgegriffenen, gefüllten Kiste. Nach welcher Verteilungsfunktion ist dieses Gewicht verteilt ?

Lösung 3.7 :

Zu 1. : Gewicht einer gefüllten Dose : x=x1 +x2

Aufgrund der vorausgesetzten Unabhängigkeit von x 1 und x2 setzt sich die Varianz additiv aus den beiden Varianzen zusammen.

Zu 2. : Eine Summe aus normalverteilten und unabhängigen zufälligen Variablen ist wieder normalverteilt.

Hier wurde auf eine Tabelle der normierten Normalverteilung zurückgegriffen, welche in Tabellenbüchern zu finden ist (z.B. [BRON97] ). Aus dieser Tabelle läßt sich ablesen, daß Phi(3)=0.9987 ist. Die Normierung der Verteilungsfunktion erfolgte nach Gl. 3.3.

Zu 3. : Bezeichnet y das Gewicht einer gefüllten Kiste und yi für i=1, 2, ..., 100 das Gewicht der i-ten gefüllten Dose der Kiste, so ist

Und wegen der vorauszusetzenden Unabhängigkeit der y i und x3

Damit ist das Gewicht einer Kiste nach der Normalverteilung N(21000;53.85^2) verteilt, da eine Summe aus unabhängigen und normalverteilten zufälligen Variablen wieder normalverteilt ist.