Während in den vorigen Kapiteln eine Zufallsgröße etwa die Wahl einer Karte beim Kartenspiel oder die Augenzahl des Würfels darstellte, handelt es sich jetzt bei Zufallsgrößen um

-) die Lebensdauer eines Systems
-) die „exakte“ Größe von Bauteilen

Zuerst wollen wir eine Merkmalsmenge M festlegen, welche die einzelnen Elementarereignisse enthält. Bildet man eine solche Menge M durch Aufzählung, so ist es gleichgültig wie die einzelnen Elemente angeordnet werden.  Damit gilt also für die einzelnen Elemente

{e1,e2,e3} = {e3,e1,e2}
 

Jedem dieser Elementarelemente ei aus der Merkmalsmenge M wird nun eine Zahl zugeordnet. Diese Zuordnung (=Funktion) wird Zufallsgröße   genannt (Abb. 3.1 ).

Diese Funktion ist also eindeutig definiert und keineswegs zufällig, wie der Begriff Zufallsgröße vermuten lassen könnte. Zufällig ist nur das Experiment selbst. Ab nun werden Zufallsgrößen mit großen Buchstaben, also X(e), geschrieben und jene Werte die sie annehmen mit Kleinbuchstaben, also xi.

Damit läßt sich direkt formulieren :

Weiters können Zufallsgrößen diskret oder stetig sein.

Eine Zufallsgröße heißt dann diskret, wenn sie nur abzählbar viele Werte annehmen kann .
Eine Zufallsgröße heißt dann stetig, wenn sie innerhalb eines Intervalls jeden reellen Zahlenwert annehmen kann. Der Unterschied der beiden Zufallsgrößen läßt sich in Abb. 3.2 und  Abb. 3.3   sehr deutlich ausmachen :

Die Wahrscheinlichkeit für die Untermenge A einer Merkmalsmenge M  kann nach

berechnet werden. Analog dazu kann man die Wahrscheinlichkeit definieren, daß X(e) Element von [a,b] ist.  Mit der Normierungsbedingung

gilt

Die Funktion f(x) wird im folgenden als Dichtefunktion   bezeichnet, welche nicht unbedingt eine kontinuierliche Funktion sein muß, wie das Integral in ( Gl. 3.1 ) vermuten lassen könnte. Speziell bei diskreten Verteilungen ist f(x) nicht kontinuierlich.

Betrachtet man weiters jene Wahrscheinlichkeit P(X(e) kleiner-gleich x) dafür, daß die Zufallsgröße Werte annimmt,  die kleiner oder gleich x sind, so erhält man die Verteilungsfunktion   F(x) einer diskreten Zufallsvariable

Analog dazu gilt für eine stetige Zufallsgröße X(e) die Beziehung

falls f(t) eine nichtnegative Funktion ist.

Daraus folgt :

Je nach Art der Merkmalsmenge können die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion kontinuierliche oder diskrete Funktionen sein. Für diskrete Werte der Zufallsgröße ist die Verteilungsfunktion unstetig. Im Falle einer stetigen Zufallsgröße hat die Verteilungsfunktion keine Sprungstellen, kann aber Knickstellen aufweisen, in denen die Verteilungsfunktion nicht differenzierbar ist.

Zusammenfassend läßt sich also sagen :

-) Die Verteilungsfunktion F(x) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsgröße X(e) sich im Intervall  ]-unendlich,x]  befindet.

-) Die Dichtefunktion f(x) gibt jene Wahrscheinlichkeit an, mit welcher die Zufallsgröße X(e) den Wert x annimmt.

-) Die sich bei einem Zufallsexperiment durch die Zufallsvariable X(e) ergebenden Experimentalergebnisse  lassen sich über f(x) und F(x) beschreiben.

Es lassen sich prinzipiell beliebig viele Dichtefunktionen angeben, allerdings gibt es ganz bestimmte Modellverteilungen, die für unsere Zwecke der Zuverlässigkeitsbetrachtungen besonders geeignet sind. Deren Charakteristika werden durch zusätzliche statistische Maßzahlen festgelegt, wie z.B. Mittelwert und Varianz.

Beispiel 3.1