Betrachtet man den Erwartungswert des Quadrates der Abweichung vom Mittelwert, so erhält man die Varianz Var(X), also den gesuchten Parameter zur Beschreibung der Abweichung vom Mittelwert, zu
Der Erwartungswert gibt zwar an, um welche Werte die Ergebnisse der Zufallsvariable abweichen, aber nicht wie weit die Werte streuen. Einfach den Erwartungswert der Abweichung zu bilden, führt zu keinem Ergebnis, da eine solche Abweichung Null ergibt. Um dennoch einen aussagekräftigen Wert zu erhalten, bildet man die durchschnittliche quadratische Abweichung der Zufallsgröße X von ihrem Erwartungswert.
Der Mittelwert einer Zufallsgröße X ist gleich dem Erwartungswert der Zufallsgröße
Betrachtet man den Erwartungswert des Quadrates der Abweichung vom Mittelwert,
so erhält man die Varianz Var(X), also den gesuchten Parameter zur Beschreibung
der Abweichung vom Mittelwert, zu
Daraus folgt für diskrete Zufallsvariable
und für stetige Zufallsvariable
Die Quadratwurzel aus der Varianz
bezeichnet man auch als Standardabweichung.
Zur einfacheren Berechnung der Varianz einer Zufallsgröße kann der Verschiebungssatz angewendet werden :
und damit den Beweis des Verschiebungssatzes.
| 3.2.1 Erwartungswert | 3.2.3 Momente |